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P3690 【模版】动态树（Link Cut Tree）

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解法

WC 实在是太无聊子

今天是冬令营的第一天，我们来学习一下 LCT 吧（雾

引入 & 定义

Link Cut Tree，顾名思义，就是可以动态维护树上路径权值和、树上连边与断边操作的一种数据结构。

说到维护树上路径权值和，首先想到的应该就是树链剖分了，一般我们会选择用 O(nlog⁡n) 的重链剖分。但是在动态树上，重链随时会改变，使用重链剖分就不行了。

这种情况下，我们不得不采用更为暴力的实链剖分。不考虑各儿子的子树大小，直接随便取一个儿子与父亲连接成一条链。于是树的形态变化就不会影响复杂度。不幸的是，这样的时间复杂度是 O(n2) 的。

那么有没有什么数据结构可以很好地维护这样的实链呢？考虑到一条链上的节点深度都是递增的，不妨用 Splay 来维护每条链，而 Splay 的中序遍历就是整条链从头到尾的遍历。

如此我们可以将一棵树（森林）转化为若干条链，每条链用 Splay 来维护，我们称这样形成的树叫做辅助树（森林）。如下图中的例子（原树）：

原树

其中实线表示的是随机分配的实边。

它的辅助树形态如下：

辅助树

原树中的实链都在同一棵 Splay 中，而原树中的虚链只有儿子指向父亲，没有父亲指向儿子。

注意：辅助树的指向不等于原树中的指向，辅助树的根也不等于原树的根！

数组 & 函数

首先定义要用的数组：

  • fa[x] x 在辅助树上的父节点
  • ch[x][0/1] x 在 Splay 中的左右儿子
  • val[x] x 的权值
  • sum[x] x 所在 Splay 的子树中的权值和
  • tag[x] x 节点的翻转标记（后面会提到）

需要的函数如下：

  • pushup(x) 更新节点权值，不多说了
  • pushdown(x) 下传翻转标记
  • pushall(x) 将 x 在 Splay 中到根节点的路径全部下传标记
  • connect(x, f, w) Splay 操作：连接 x 为 f 的 w 儿子（w=−1 表示虚边上的儿子）
  • get(x) 获取 x 是哪种儿子
  • rotate(x) Splay 操作：旋转
  • splay(x) Splay 操作：旋转到根
  • access(x) LCT 的核心：将 x 与根放到同一条实链中
  • makeroot(x) 将 x 变成原树的根
  • split(x, y) 将 x 到 y 的路径放到同一条实链中
  • findroot(x) 找到 x 所在实链的链头
  • link(x, y) 连接 x 到 y
  • cut(x, y) 断开 x 到 y

代码实现

pushup(x)
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// 更新sum
void pushup(int x) {
    // 视情况而定，本题为异或和
    sum[x] = sum[ch[x][0]] ^ sum[ch[x][1]] ^ val[x];
}
pushdown(x)
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// 标记下传
void pushdown(int x) {
    if (tag[x]) {
        swap(ch[x][0], ch[x][1]);
        if (ch[x][0])
            tag[ch[x][0]] ^= 1;
        if (ch[x][1])
            tag[ch[x][1]] ^= 1;
        tag[x] = 0;
    }
}
pushall(x)
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// 递归实现即可
void pushall(int x) {
    if (~get(x))
        pushall(fa[x]);
    pushdown(x);
}
connect(x, f, w)
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// 压到一行
void connect(int x, int f, int w) {
    fa[x] = f, (~w) && (ch[f][w] = x);
}
get(x)
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// 这个压不了
int get(int x) {
    if (ch[fa[x]][0] == x)
        return 0;
    if (ch[fa[x]][1] == x)
        return 1;
    return -1;
}
rotate(x)

和普通的 splay 不一样了，要判断虚边

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void rotate(int x) {
    int y = fa[x], z = fa[y], w = get(x);
    if (~w)
        connect(ch[x][w ^ 1], y, w);
    connect(x, z, get(y));
    connect(y, x, w ^ 1);
    pushup(y);
    pushup(x);
}
splay(x)

第一行要先将上方的标记都下传

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void splay(int x) {
    pushall(x);
    for (int f = fa[x]; f = fa[x], ~get(x); rotate(x))
        if (~get(f))
            rotate(get(f) == get(x) ? f : x);
}
access(x)

辅助树

考虑将上图的节点 9 与根节点 1 打通。

因此要先将 9 转到当前 splay 的根（如图）。

splay后的辅助树

而根据辅助树上链的性质，9、13 和 10 不应该在一条链上，于是将 9 与 13 断开成虚链（从父亲中移除指向即可），同时将下方与 x 连接的另一棵 splay 连接（ch[x][1]:=pre）。

以此类推，一直往上重复此操作直到根。

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void access(int x) {
    int pre = 0;
    while (x) {
        splay(x);
        ch[x][1] = pre;
        pushup(x);
        pre = x;
        x = fa[x];
    }
}
makeroot(x)

让 x 成为新的原树的根。将 x 转到根节点的 splay 中，然后让 x 成为根节点。

但是这样一来，x 所在的 splay 树就乱掉了，因为无法再保证深度递增。同时发现由于在 access(x) 之后 x 的右儿子被清空了，所以将该 splay 翻转就得到新的按深度递增的 splay（仔细想想是不是）。于是代码就出来了：

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void makeroot(int x) {
    access(x);
    splay(x);
    tag[x] ^= 1; // 这是翻转的标记
}
split(x, y)

将 x 成为原树的根（同时是该 splay 的深度最小节点），再将 y 与 x 打通，旋转 y 到该 splay 的根，显然 y 的当前 sum 值就是 x 到 y 路径的 sum。

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void split(int x, int y) {
    makeroot(x);
    access(y);
    splay(y);
}
findroot(x)

将 x 与根打通（access(x)），显然 splay 最左边的节点就是根了。

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int findroot(int x) {
    access(x);
    splay(x);
    while (ch[x][0])
        pushdown(x), x = ch[x][0];
    splay(x);
    return x;
}

先判断 x 与 y 是否联通，类似并查集的方法。

然后 y 转到根，将 x 指向 y（注意不要让父亲 y 指向儿子 x）。

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bool link(int x, int y) {
    makeroot(x);
    if (findroot(y) == x)
        return false;
    fa[x] = y;
    return true;
}
cut(x, y)

还是先判断 x 与 y 在同一个联通块。

将 x 到 y 的路径取出，并判断 x 与 y 是否直接连接。

如果直接连接，直接断开即可。

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bool cut(int x, int y) {
    if (findroot(x) != findroot(y))
        return false;
    split(x, y);
    if (fa[x] != y || ch[x][1])
        return false;
    fa[x] = ch[y][0] = 0;
    return true;
}

至此，LCT 的各函数实现就讲完了，下面放出一个封装好的模版：

模版

理论时间复杂度是 O(nlog⁡n)（我也不会证明），但是常数极大（听说能有 20？），慎用。

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const int MAXN = 1e5 + 10;
struct LCT {
    int fa[MAXN], ch[MAXN][2];
    int val[MAXN], sum[MAXN], tag[MAXN];
    void pushup(int x) { sum[x] = sum[ch[x][0]] ^ sum[ch[x][1]] ^ val[x]; }
    void connect(int x, int f, int w) { fa[x] = f, (~w) && (ch[f][w] = x); }
    int get(int x) {
        if (ch[fa[x]][0] == x)
            return 0;
        if (ch[fa[x]][1] == x)
            return 1;
        return -1;
    }
    void pushdown(int x) {
        if (tag[x]) {
            swap(ch[x][0], ch[x][1]);
            if (ch[x][0])
                tag[ch[x][0]] ^= 1;
            if (ch[x][1])
                tag[ch[x][1]] ^= 1;
            tag[x] = 0;
        }
    }
    void pushall(int x) {
        if (~get(x))
            pushall(fa[x]);
        pushdown(x);
    }
    void rotate(int x) {
        int y = fa[x], z = fa[y], w = get(x);
        if (~w)
            connect(ch[x][w ^ 1], y, w);
        connect(x, z, get(y));
        connect(y, x, w ^ 1);
        pushup(y);
        pushup(x);
    }
    void splay(int x) {
        pushall(x);
        for (int f = fa[x]; f = fa[x], ~get(x); rotate(x))
            if (~get(f))
                rotate(get(f) == get(x) ? f : x);
    }
    void access(int x) {
        int pre = 0;
        while (x) {
            splay(x);
            ch[x][1] = pre;
            pushup(x);
            pre = x;
            x = fa[x];
        }
    }
    void makeroot(int x) {
        access(x);
        splay(x);
        tag[x] ^= 1;
    }
    void split(int x, int y) {
        makeroot(x);
        access(y);
        splay(y);
    }
    int findroot(int x) {
        access(x);
        splay(x);
        while (ch[x][0])
            pushdown(x), x = ch[x][0];
        splay(x);
        return x;
    }
    bool link(int x, int y) {
        makeroot(x);
        if (findroot(y) == x)
            return false;
        fa[x] = y;
        return true;
    }
    bool cut(int x, int y) {
        if (findroot(x) != findroot(y))
            return false;
        split(x, y);
        if (fa[x] != y || ch[x][1])
            return false;
        fa[x] = ch[y][0] = 0;
        return true;
    }
};

AC 代码

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/**
 * @file:           P3690.cpp
 * @author:         yaoxi-std
 * @url:            https://www.luogu.com.cn/problem/P3690
*/
// #pragma GCC optimize ("O2")
// #pragma GCC optimize ("Ofast", "inline", "-ffast-math")
// #pragma GCC target ("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define resetIO(x) \
    freopen(#x ".in", "r", stdin), freopen(#x ".out", "w", stdout)
#define debug(fmt, ...) \
    fprintf(stderr, "[%s:%d] " fmt "\n", __FILE__, __LINE__, ##__VA_ARGS__)
template <class _Tp>
inline _Tp& read(_Tp& x) {
    bool sign = false;
    char ch = getchar();
    long double tmp = 1;
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
        sign |= (ch == '-');
    for (x = 0; isdigit(ch); ch = getchar())
        x = x * 10 + (ch ^ 48);
    if (ch == '.')
        for (ch = getchar(); isdigit(ch); ch = getchar())
            tmp /= 10.0, x += tmp * (ch ^ 48);
    return sign ? (x = -x) : x;
}
template <class _Tp>
inline void write(_Tp x) {
    if (x < 0)
        putchar('-'), x = -x;
    if (x > 9)
        write(x / 10);
    putchar((x % 10) ^ 48);
}
const int MAXN = 1e5 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
struct LCT {
    int fa[MAXN], ch[MAXN][2];
    int val[MAXN], sum[MAXN], tag[MAXN];
    void pushup(int x) { sum[x] = sum[ch[x][0]] ^ sum[ch[x][1]] ^ val[x]; }
    void connect(int x, int f, int w) { fa[x] = f, (~w) && (ch[f][w] = x); }
    int get(int x) {
        if (ch[fa[x]][0] == x)
            return 0;
        if (ch[fa[x]][1] == x)
            return 1;
        return -1;
    }
    void pushdown(int x) {
        if (tag[x]) {
            swap(ch[x][0], ch[x][1]);
            if (ch[x][0])
                tag[ch[x][0]] ^= 1;
            if (ch[x][1])
                tag[ch[x][1]] ^= 1;
            tag[x] = 0;
        }
    }
    void pushall(int x) {
        if (~get(x))
            pushall(fa[x]);
        pushdown(x);
    }
    void rotate(int x) {
        int y = fa[x], z = fa[y], w = get(x);
        if (~w)
            connect(ch[x][w ^ 1], y, w);
        connect(x, z, get(y));
        connect(y, x, w ^ 1);
        pushup(y);
        pushup(x);
    }
    void splay(int x) {
        pushall(x);
        for (int f = fa[x]; f = fa[x], ~get(x); rotate(x))
            if (~get(f))
                rotate(get(f) == get(x) ? f : x);
    }
    void access(int x) {
        int pre = 0;
        while (x) {
            splay(x);
            ch[x][1] = pre;
            pushup(x);
            pre = x;
            x = fa[x];
        }
    }
    void makeroot(int x) {
        access(x);
        splay(x);
        tag[x] ^= 1;
    }
    void split(int x, int y) {
        makeroot(x);
        access(y);
        splay(y);
    }
    int findroot(int x) {
        access(x);
        splay(x);
        while (ch[x][0])
            pushdown(x), x = ch[x][0];
        splay(x);
        return x;
    }
    bool link(int x, int y) {
        makeroot(x);
        if (findroot(y) == x)
            return false;
        fa[x] = y;
        return true;
    }
    bool cut(int x, int y) {
        if (findroot(x) != findroot(y))
            return false;
        split(x, y);
        if (fa[x] != y || ch[x][1])
            return false;
        fa[x] = ch[y][0] = 0;
        return true;
    }
};
int n, q;
LCT lct;
signed main() {
    read(n), read(q);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        read(lct.val[i]);
        lct.sum[i] = lct.val[i];
    }
    while (q--) {
        int op, x, y;
        read(op), read(x), read(y);
        if (op == 0) {
            lct.split(x, y);
            write(lct.sum[y]), putchar('\n');
        } else if (op == 1) {
            lct.link(x, y);
        } else if (op == 2) {
            lct.cut(x, y);
        } else {
            lct.val[x] = y;
            lct.splay(x);
        }
    }
    return 0;
}

Gitalking ...

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