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$\text{开}\mathop{\text{卷}}\limits^{ju\check{a}n}\text{有益}$

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P7154 Sleeping Cows P 题解

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P7154 Sleeping Cows P 题解

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解法

先分析性质。首先排序不影响答案所以将其排序。若$t_i$所能匹配到的最大$s$的下标为$x$，则如果放弃$t_i$就意味着$s_1$到$s_x$都要被匹配。所以在此思路上$dp$则需要维护两个指针分别指向最小的还没考虑的$s$和$t$，每次选择较小的一边进行更新。不妨将两个数组合并顺序去做。

考虑$dp$，设$dp_{i,j,0/1}$表示考虑到新数组的第$i$个数，目前有$j$个$s$被选入匹配但还没确定匹配谁，$1$到$i-1$中是否都已经被选入的方案数。那么得到转移方程：

若元素$i$在$s$中，则

若元素$i$在$t$中，则

最终答案就是 $dp{n,0,0} + dp{n,0,1}$。

时间复杂度$O(n^2)$。

AC代码

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/**
 * @file:           P7154.cpp
 * @author:         yaoxi-std
 * @url:            https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P7154
*/
// #pragma GCC optimize ("O2")
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define resetIO(x) \
    freopen(#x ".in", "r", stdin), freopen(#x ".out", "w", stdout)
#define debug(fmt, ...) \
    fprintf(stderr, "[%s:%d] " fmt "\n", __FILE__, __LINE__, ##__VA_ARGS__)
template <class _Tp>
inline _Tp& read(_Tp &x) {
    bool sign = false;
    char ch = getchar();
    long double tmp = 1;
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
        sign |= (ch == '-');
    for (x = 0; isdigit(ch); ch = getchar())
        x = x * 10 + (ch ^ 48);
    if (ch == '.')
        for (ch = getchar(); isdigit(ch); ch = getchar())
            tmp /= 10.0, x += tmp * (ch ^ 48);
    return sign ? (x = -x) : x;
}
template <class _Tp>
inline void write(_Tp x) {
    if (x < 0)
        putchar('-'), x = -x;
    if (x > 9)
        write(x / 10);
    putchar((x % 10) ^ 48);
}
const int MAXN = 6e3 + 10;
const int INFL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
struct node {
    int x, op;
    bool operator<(const node &o) const {
        return x == o.x ? op < o.op : x < o.x;
    }
};
int n, m, s[MAXN], t[MAXN], dp[2][MAXN][2];
node a[MAXN];
void add(int &x, int y) {
    x += y;
    if (x >= MOD)
        x -= MOD;
}
signed main() {
    read(n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        read(s[i]), a[++m] = {s[i], 0};
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        read(t[i]), a[++m] = {t[i], 1};
    sort(a + 1, a + m + 1);
    int u = 0;
    dp[u ^ 1][0][1] = 1;
    for (int i = 1; i <= m; ++i, u ^= 1) {
        memset(dp[u], 0, sizeof(dp[u]));
        for (int j = 0; j <= n; ++j) {
            if (a[i].op == 0) {
                add(dp[u][j][0], dp[u ^ 1][j][0]);
                add(dp[u][j][0], dp[u ^ 1][j][1]);
                if (j) {
                    add(dp[u][j][0], dp[u ^ 1][j - 1][0]);
                    add(dp[u][j][1], dp[u ^ 1][j - 1][1]);
                }
            } else {
                add(dp[u][j][0], dp[u ^ 1][j + 1][0] * (j + 1) % MOD);
                add(dp[u][j][1], dp[u ^ 1][j + 1][1] * (j + 1) % MOD);
                add(dp[u][j][1], dp[u ^ 1][j][1]);
            }
        }
    }
    int sum = 0;
    add(sum, dp[u ^ 1][0][0]);
    add(sum, dp[u ^ 1][0][1]);
    write(sum), putchar('\n');
    return 0;
}